La curva di Bézier
Le curve di Bézier nascono per disegnare, tracciare curve nello spazio, dall’andamento morbido e sinuoso a partire da un numero finito di punti. La caratteristica peculiare che contraddistingue la curva di Bézier da altri tipi di curve tracciabili è che sono definite da un poligono i cui vertici sono chiamati punti di controllo della curva risultante ed il grado della curva è dato dal numero di vertici -1 del poligono di controllo.
Ordini
Una curva di Bézier indipendentemente dal caso generale può essere sostanzialmente di 3 gradi:
- primo grado quindi lineare,
- secondo grado ovvero quadratica,
- terzo grado perciò cubica.
La curva di Bézier – CASO QUADRATICO
Dati tre punti 𝑝0,𝑝1 e 𝑝2 , possiamo iterare l’interpolazione lineare ottenendo così una curva di Bézier quadratica definita dalla funzione:
La curva di Bézier – CASO CUBICO
Dati 4 punti 𝑝0, 𝑝1, 𝑝2 𝑒 𝑝3 iterando una volta in più il procedimento di interpolazione lineare visto precedentemente. In questo caso sarà definita da una funzione parametrica:
La curva di Bézier – CASO GENERALE
Dati 𝑛 + 1 punti, 𝑃0,…, 𝑃𝑛 , dello spazio affine, la curva di Bézier di ordine n determinata dai punti dati è la curva:
Proprietà
- La curva di Bézier è sempre interna alla poligonale, non oscilla quindi rispetto ai punti di controllo
- la tangente agli estremi coincide con la retta congiungente rispettivamente i primi due e gli ultimi due punti di controllo
- La Curva inizia in 𝑃𝑜 e termina in 𝑃𝑛
- Una curva può essere spezzata in qualsiasi punto in un arbitrario numero di sotto curve, ognuna delle quali è essa stessa una curva di Bézier
- Per realizzare forme più complesse si possono unire più curve di secondo e terzo ordine tra di loro
Esercizi alternativi sulla curva di Bézier
Parlando con il mio migliore amico ed ex collega di corso, ormai passato ad Ingegneria Civile, Gianluca Pelucchini, sono venuto a conoscenza di alcuni ulteriori metodi ed esercizi anch’essi a tutti gli effetti parametrici, con l’utilizzo del software Excel per tabellare ed unificare i valori di riferimento e di AutoCAD per graficarli. Credevo fosse un interessante allegato all’approfondimento sulle curve di Bézier, dal momento che è fornisce una visione alternativa a quella trasmessa dal corso di ITCAAD.
l’obiettivo come detto è quello di graficare delle curve cubiche attraverso l’utilizzo di parametri mandati in input su Excel e una volta stabilite le matrici di output dati queste verranno inserite in Autocad che in automatico graficizzerà in formato tridimensionale la curva stessa (in allegato saranno presenti i file del lavoro gentilmente forniti dal mio collega).
Nel file “ESERCITAZIONE 5 TMIC” è presente un file Excel, ovvero quello fonte da cui partono i dati. In questo file sulla parte dedicata alla curva di Bèzier, sono presenti una matrice M di dati, la matrice B dei punti, e la matrice A ovvero la matrice prodotto tra le due, ottenuta utilizzando la funzione prodotto tra matrici di Excel. In basso vediamo una serie di valori numerici, questi valori sono gli spostamenti della curva ottenuti partendo da un numero di partenza ovvero 0, iterando gli altri con un intervallo fisso di 0.02 arrivando fino ad u=1. Ora passando all’altro file Excel ovvero “ESERCITAZIONE 7 EXCEL TMIC” li nella cartella 3.3 BEZIER, sono presenti i medesimi dati ottenuti da questo file che verranno a loro volta sfruttati per ottenere le varie X,Y,Z di ogni spostamento. Bèzier in questo caso è una funzione cubica, ed i grafici rappresentano la proiezione dei punti su ogni piano.
una volta ottenute le “stringhe” attraverso il comando line di Excel (grafico rosso), otterrò la concatenazione dei dati procederemo quindi con il copiarli per colonna e incollarli nella barra di input comandi di AutoCAD. Verrà fatto il medesimo procedimento per ogni proiezione ovviamente nel caso di una proiezione XZ la terza (Y) sarà bloccata su 0. Otterremo cosi il nostro grafico parametrico dato dall’input dei vari dati.
